Οι 17 εξισώσεις που άλλαξαν τον κόσμο
1) Το Πυθαγόρειο Θεώρημα: Αυτό το θεώρημα είναι θεμελιώδες για την κατανόησή μας της γεωμετρίας. Περιγράφει τη σχέση αριθμών μεταξύ των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου σε επίπεδο επίπεδο: τετραγωνίστε τα μήκη των κοντών πλευρών, a και b, προσθέστε τα μαζί και παίρνετε το τετράγωνο του μήκους της μεγάλης πλευράς, c.
Αυτή η σχέση, κατά κάποιο τρόπο, στην πραγματικότητα διακρίνει την κανονική, επίπεδη, Ευκλείδεια γεωμετρία μας από την καμπύλη, μη Ευκλείδεια γεωμετρία. Για παράδειγμα, ένα ορθογώνιο τρίγωνο που σχεδιάζεται στην επιφάνεια μιας σφαίρας δεν χρειάζεται να ακολουθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα.
2) Λογάριθμοι: Οι λογάριθμοι είναι τα αντίστροφα ή τα αντίθετα των εκθετικών συναρτήσεων. Ένας λογάριθμος για μια συγκεκριμένη βάση σας λέει σε ποια δύναμη χρειάζεστε για να αυξήσετε αυτή τη βάση για να πάρετε έναν αριθμό. Για παράδειγμα, ο λογάριθμος βάσης 10 του 1 είναι log(1) = 0, αφού 1 = 10 0 ; log(10) = 1, αφού 10 = 10 1 ; και log(100) = 2, αφού 100 = 10 2 .
Η εξίσωση στο γραφικό, log(ab) = log(a) + log(b), δείχνει μια από τις πιο χρήσιμες εφαρμογές των λογαρίθμων: μετατρέπουν τον πολλαπλασιασμό σε πρόσθεση.
Μέχρι την ανάπτυξη του ψηφιακού υπολογιστή, αυτός ήταν ο πιο συνηθισμένος τρόπος για γρήγορο πολλαπλασιασμό μεγάλων αριθμών, επιταχύνοντας σημαντικά τους υπολογισμούς στη φυσική, την αστρονομία και τη μηχανική.
3) Λογισμός: Ο τύπος που δίνεται εδώ είναι ο ορισμός της παραγώγου στον λογισμό. Το παράγωγο μετρά τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται μια ποσότητα. Για παράδειγμα, μπορούμε να σκεφτούμε την ταχύτητα ή την ταχύτητα ως παράγωγο της θέσης - εάν περπατάτε με 3 μίλια την ώρα, τότε κάθε ώρα, έχετε αλλάξει τη θέση σας κατά 3 μίλια.
Φυσικά, μεγάλο μέρος της επιστήμης ενδιαφέρεται να κατανοήσει πώς αλλάζουν τα πράγματα, και το παράγωγο και το ολοκλήρωμα - το άλλο θεμέλιο του λογισμού - βρίσκονται στο επίκεντρο του τρόπου με τον οποίο οι μαθηματικοί και οι επιστήμονες κατανοούν την αλλαγή.
4) Νόμος της βαρύτητας: Ο νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα περιγράφει τη δύναμη της βαρύτητας μεταξύ δύο αντικειμένων, F, με όρους καθολικής σταθεράς, G, τις μάζες των δύο αντικειμένων, m 1 και m 2, και την απόσταση μεταξύ των αντικειμένων, r. Ο νόμος του Νεύτωνα είναι ένα αξιοσημείωτο κομμάτι της επιστημονικής ιστορίας - εξηγεί, σχεδόν τέλεια, γιατί οι πλανήτες κινούνται με τον τρόπο που κινούνται. Αξιοσημείωτη είναι επίσης η καθολική φύση του - έτσι δεν λειτουργεί μόνο η βαρύτητα στη Γη ή στο ηλιακό μας σύστημα, αλλά οπουδήποτε στο σύμπαν.
Η βαρύτητα του Νεύτωνα διατηρήθηκε πολύ καλά για διακόσια χρόνια, και μόλις στη θεωρία της γενικής σχετικότητας του Αϊνστάιν θα αντικατασταθεί.
5) Η τετραγωνική ρίζα του -1: Οι μαθηματικοί ανέκαθεν επέκτειναν την ιδέα του τι είναι στην πραγματικότητα οι αριθμοί, πηγαίνοντας από τους φυσικούς αριθμούς πολύ αρνητικούς αριθμούς, στα κλάσματα, στους πραγματικούς αριθμούς. Η τετραγωνική ρίζα του -1, που συνήθως γράφεται i, ολοκληρώνει αυτή τη διαδικασία, προκαλώντας τους μιγαδικούς αριθμούς.
Μαθηματικά, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι εξαιρετικά κομψοί. Η άλγεβρα λειτουργεί τέλεια όπως τη θέλουμε - κάθε εξίσωση έχει μια λύση μιγαδικών αριθμών, μια κατάσταση που δεν ισχύει για τους πραγματικούς αριθμούς: x 2 + 4 = 0 δεν έχει λύση πραγματικών αριθμών, αλλά έχει μια μιγαδική λύση: τετραγωνική ρίζα -2. Ο λογισμός μπορεί να επεκταθεί στους μιγαδικούς αριθμούς, και κάνοντας αυτό, βρίσκουμε μερικές εκπληκτικές συμμετρίες και ιδιότητες αυτών των αριθμών. Αυτές οι ιδιότητες καθιστούν τους μιγαδικούς αριθμούς σημαντικούς στην ηλεκτρονική και την επεξεργασία σήματος.
6) Τύπος Πολύεδρων του Euler: Τα P opolyhedraa είναι οι τρισδιάστατες εκδοχές των πολυγώνων, όπως ο κύβος στα δεξιά. Οι γωνίες ενός πολυέδρου ονομάζονται κορυφές του, οι γραμμές που συνδέουν τις κορυφές είναι οι άκρες του και τα πολύγωνα που το καλύπτουν είναι οι όψεις του.
Ένας κύβος έχει 8 κορυφές, 12 άκρες και 6 όψεις. Αν προσθέσω τις κορυφές και τις όψεις μαζί και αφαιρέσω τις ακμές, παίρνω 8 + 6 - 12 = 2.
Ο τύπος του Euler δηλώνει ότι, εφόσον το πολύεδρό σας έχει κάπως καλή συμπεριφορά, αν προσθέσετε τις κορυφές και τις όψεις μαζί και αφαιρέσετε τις ακμές, θα λαμβάνετε πάντα 2. Αυτό θα ισχύει αν το πολύεδρό σας έχει 4, 8, 12, 20 , ή οποιονδήποτε αριθμό προσώπων.
Η παρατήρηση του Euler ήταν ένα από τα πρώτα παραδείγματα αυτού που σήμερα ονομάζεται τοπολογικό αμετάβλητο - κάποιος αριθμός ή ιδιότητα που μοιράζεται μια κατηγορία σχημάτων που είναι παρόμοια μεταξύ τους. Ολόκληρη η κλάση των πολυέδρων με «καλή συμπεριφορά» θα έχει V + F - E = 2. Αυτή η παρατήρηση, μαζί με τη λύση του Euler στο πρόβλημα Γέφυρες του Konigsburg, άνοιξε το δρόμο για την ανάπτυξη της τοπολογίας, ενός κλάδου των μαθηματικών που είναι απαραίτητος για τη σύγχρονη η φυσικη.
7) Κανονική κατανομή: Η κανονική κατανομή πιθανοτήτων, η οποία έχει το γνωστό γράφημα καμπύλης καμπάνας στα αριστερά, είναι πανταχού παρούσα στα στατιστικά.
Η κανονική καμπύλη χρησιμοποιείται στη φυσική, τη βιολογία και τις κοινωνικές επιστήμες για τη μοντελοποίηση διαφόρων ιδιοτήτων. Ένας από τους λόγους που η κανονική καμπύλη εμφανίζεται τόσο συχνά είναι ότι περιγράφει τη συμπεριφορά μεγάλων ομάδων ανεξάρτητων διεργασιών.
😎 Εξίσωση κυμάτων: Αυτή είναι μια διαφορική εξίσωση ή μια εξίσωση που περιγράφει πώς μια ιδιότητα αλλάζει με την πάροδο του χρόνου ως προς την παράγωγο αυτής της ιδιότητας, όπως παραπάνω. Η εξίσωση κύματος περιγράφει τη συμπεριφορά των κυμάτων - μια δονούμενη χορδή κιθάρας, κυματισμοί σε μια λίμνη μετά από ρίψη πέτρας ή φως που βγαίνει από έναν λαμπτήρα πυρακτώσεως. Η εξίσωση κυμάτων ήταν μια πρώιμη διαφορική εξίσωση και οι τεχνικές που αναπτύχθηκαν για την επίλυση της εξίσωσης άνοιξαν την πόρτα για την κατανόηση και άλλων διαφορικών εξισώσεων.
9) Μετασχηματισμός Fourier: Ο μετασχηματισμός Fourier είναι απαραίτητος για την κατανόηση πιο περίπλοκων δομών κυμάτων, όπως η ανθρώπινη ομιλία. Δεδομένης μιας περίπλοκης, ακατάστατης λειτουργίας κυμάτων όπως η εγγραφή ενός ατόμου που μιλάει, ο μετασχηματισμός Fourier
μας επιτρέπει να σπάσουμε την ακατάστατη συνάρτηση σε έναν συνδυασμό από έναν αριθμό απλών κυμάτων, απλοποιώντας σημαντικά την ανάλυση.
Ο μετασχηματισμός Fourier βρίσκεται στο επίκεντρο της σύγχρονης επεξεργασίας και ανάλυσης σήματος και της συμπίεσης δεδομένων.
10) Εξισώσεις Navier-Stokes: Όπως και η κυματική εξίσωση, αυτή είναι μια διαφορική εξίσωση. Οι εξισώσεις Navier-Stokes περιγράφουν τη συμπεριφορά των ρευστών που ρέουν - το νερό που κινείται μέσω ενός σωλήνα, η ροή αέρα πάνω από ένα φτερό αεροπλάνου ή ο καπνός που αναδύεται από ένα τσιγάρο. Ενώ έχουμε κατά προσέγγιση λύσεις των εξισώσεων Navier-Stokes που επιτρέπουν στους υπολογιστές να προσομοιώνουν αρκετά καλά την κίνηση του ρευστού, παραμένει ένα ανοιχτό ερώτημα (με ένα έπαθλο εκατομμυρίων δολαρίων) εάν είναι δυνατόν να κατασκευαστούν μαθηματικά ακριβείς λύσεις στις εξισώσεις.
11) Εξισώσεις Maxwell: Αυτό το σύνολο τεσσάρων διαφορικών εξισώσεων περιγράφει τη συμπεριφορά και τη σχέση μεταξύ του ηλεκτρισμού (Ε) και του μαγνητισμού (Η).
Οι εξισώσεις του Maxwell αφορούν τον κλασικό ηλεκτρομαγνητισμό όπως οι νόμοι της κίνησης του Νεύτωνα και ο νόμος της παγκόσμιας βαρύτητας στην κλασική μηχανική - είναι το θεμέλιο της εξήγησής μας για το πώς λειτουργεί ο ηλεκτρομαγνητισμός σε καθημερινή κλίμακα. Όπως θα δούμε, ωστόσο, η σύγχρονη φυσική βασίζεται σε μια κβαντομηχανική εξήγηση του ηλεκτρομαγνητισμού, και είναι πλέον σαφές ότι αυτές οι κομψές εξισώσεις είναι απλώς μια προσέγγιση που λειτουργεί καλά σε ανθρώπινη κλίμακα.
12) Δεύτερος Νόμος της Θερμοδυναμικής: Αυτό δηλώνει ότι, σε ένα κλειστό σύστημα, η εντροπία (S) είναι πάντα σταθερή ή αυξανόμενη. Η θερμοδυναμική εντροπία είναι, χονδρικά, ένα μέτρο του πόσο διαταραγμένο είναι ένα σύστημα. Ένα σύστημα που ξεκινά σε μια τακτοποιημένη, ανομοιόμορφη κατάσταση - ας πούμε, μια ζεστή περιοχή δίπλα σε μια ψυχρή περιοχή - θα τείνει πάντα να εξομαλύνεται, με τη θερμότητα να ρέει από τη θερμή περιοχή στην ψυχρή περιοχή μέχρι να κατανεμηθεί ομοιόμορφα.
Ο δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής είναι μια από τις λίγες περιπτώσεις στη φυσική όπου ο χρόνος έχει σημασία με αυτόν τον τρόπο. Οι περισσότερες φυσικές διεργασίες είναι αναστρέψιμες - μπορούμε να εκτελέσουμε τις εξισώσεις προς τα πίσω χωρίς να ανακατεύουμε τα πράγματα. Ο δεύτερος νόμος, ωστόσο, κινείται μόνο προς αυτή την κατεύθυνση. Αν βάλουμε ένα παγάκι σε ένα φλιτζάνι ζεστού καφέ, βλέπουμε πάντα το παγάκι να λιώνει και ποτέ δεν βλέπουμε τον καφέ να παγώνει.
13) Σχετικότητα: Ο Αϊνστάιν άλλαξε ριζικά την πορεία της φυσικής με τις θεωρίες του περί ειδικής και γενικής σχετικότητας. Η κλασική εξίσωση E = mc 2 δηλώνει ότι η ύλη και η ενέργεια είναι ισοδύναμες μεταξύ τους. Η ειδική σχετικότητα έφερε ιδέες όπως η ταχύτητα του φωτός να είναι ένα παγκόσμιο όριο ταχύτητας και το πέρασμα του χρόνου να είναι διαφορετικό για τους ανθρώπους που κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες.
Η Γενική Σχετικότητα περιγράφει τη βαρύτητα ως μια καμπυλότητα και αναδίπλωση του ίδιου του χώρου και του χρόνου και ήταν η πρώτη σημαντική αλλαγή στην κατανόησή μας για τη βαρύτητα μετά το νόμο του Νεύτωνα. Η γενική σχετικότητα είναι απαραίτητη για την κατανόηση της προέλευσης, της δομής και της τελικής μοίρας του σύμπαντος.
14) Εξίσωση Schrodinger: Αυτή είναι η κύρια εξίσωση στην κβαντομηχανική. Καθώς η γενική σχετικότητα εξηγεί το σύμπαν μας στη μεγαλύτερη κλίμακα του, αυτή η εξίσωση διέπει τη συμπεριφορά των ατόμων και των υποατομικών σωματιδίων.
Η σύγχρονη κβαντική μηχανική και η γενική σχετικότητα είναι οι δύο πιο επιτυχημένες επιστημονικές θεωρίες στην ιστορία - όλες οι πειραματικές παρατηρήσεις που έχουμε κάνει μέχρι σήμερα είναι απολύτως συνεπείς με τις προβλέψεις τους. Η κβαντική μηχανική είναι επίσης απαραίτητη για τις περισσότερες σύγχρονες τεχνολογίες - η πυρηνική ενέργεια, οι υπολογιστές που βασίζονται σε ημιαγωγούς και τα λέιζερ είναι όλα χτισμένα γύρω από κβαντικά φαινόμενα.
15) Θεωρία πληροφοριών: Η εξίσωση που δίνεται εδώ είναι για την εντροπία πληροφοριών Shannon. Όπως και με τη θερμοδυναμική εντροπία που δίνεται παραπάνω, αυτό είναι ένα μέτρο διαταραχής. Σε αυτήν την περίπτωση, μετρά το περιεχόμενο πληροφοριών ενός μηνύματος - ενός βιβλίου, μιας εικόνας JPEG που αποστέλλεται στο διαδίκτυο ή οτιδήποτε μπορεί να αναπαρασταθεί συμβολικά. Η εντροπία Shannon ενός μηνύματος αντιπροσωπεύει ένα κατώτερο όριο για το πόσο αυτό το μήνυμα μπορεί να συμπιεστεί χωρίς να χαθεί μέρος του περιεχομένου του.
Το μέτρο εντροπίας του Shannon ξεκίνησε τη μαθηματική μελέτη των πληροφοριών και τα αποτελέσματά του είναι κεντρικά για τον τρόπο με τον οποίο επικοινωνούμε μέσω δικτύων σήμερα.
16) Θεωρία Χάους: Αυτή η εξίσωση είναι ο λογιστικός χάρτης του May. Περιγράφει μια διαδικασία που εξελίσσεται μέσα στο χρόνο - x t+1, το επίπεδο κάποιας ποσότητας x στην επόμενη χρονική περίοδο - δίνεται από τον τύπο στα δεξιά, και εξαρτάται από το x t, το επίπεδο του x αυτή τη στιγμή. Το k είναι μια επιλεγμένη σταθερά. Για ορισμένες τιμές του k, ο χάρτης δείχνει χαοτική συμπεριφορά: αν ξεκινήσουμε από κάποια συγκεκριμένη αρχική τιμή του x, η διαδικασία θα εξελιχθεί με έναν τρόπο, αλλά αν ξεκινήσουμε από μια άλλη αρχική τιμή, ακόμη και μια πολύ κοντά στην πρώτη τιμή, η η διαδικασία θα εξελιχθεί με εντελώς διαφορετικό τρόπο.
Βλέπουμε χαοτική συμπεριφορά - συμπεριφορά ευαίσθητη στις αρχικές συνθήκες - όπως αυτή σε πολλούς τομείς. Ο καιρός είναι ένα κλασικό παράδειγμα - μια μικρή αλλαγή στις ατμοσφαιρικές συνθήκες μια μέρα μπορεί να οδηγήσει σε εντελώς διαφορετικά καιρικά συστήματα λίγες μέρες αργότερα, που συνήθως αποτυπώνεται στην ιδέα μιας πεταλούδας να χτυπά τα φτερά της σε μια ήπειρο προκαλώντας τυφώνα σε μια άλλη ήπειρο
.
17) Εξίσωση Black-Scholes: Μια άλλη διαφορική εξίσωση, η Black-Scholes περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο οι ειδικοί χρηματοοικονομικών και οι έμποροι βρίσκουν τις τιμές για τα παράγωγα. Τα παράγωγα - χρηματοοικονομικά προϊόντα που βασίζονται σε κάποιο υποκείμενο περιουσιακό στοιχείο, όπως μια μετοχή - αποτελούν σημαντικό μέρος του σύγχρονου χρηματοπιστωτικού συστήματος.
Η εξίσωση Black-Scholes επιτρέπει στους επαγγελματίες του χρηματοοικονομικού τομέα να υπολογίσουν την αξία αυτών των χρηματοοικονομικών προϊόντων, με βάση τις ιδιότητες του παραγώγου και του υποκείμενου περιουσιακού στοιχείου.
Σχόλια